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아페리 상수

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목차

1. 개요

아페리 상수(ζ(3))는 리만 제타 함수의 3에서의 값으로, 1978년 로제 아페리가 ζ(3)이 무리수임을 증명하면서 널리 알려졌다. 이 상수는 다양한 급수, 적분, 연분수 표현으로 나타낼 수 있으며, 전자의 자기 회전비 계산 등 물리학 분야에서도 활용된다. 2020년에는 대한민국의 김승민이 소수점 이하 1조 2000억 자리까지 계산하여 계산 자릿수 세계 기록을 경신했다.

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아페리 상수
일반 정보
명칭아페리 상수
기호ζ(3)
로마자 표기Aperi sangsu
유형무리수
값1.2020569031595942854...
OEISA002117
수학적 성질
정의양의 세제곱수의 역수의 합
수식ζ(3) = 1 + (1/2³) + (1/3³) + (1/4³) + ...
유리수 여부무리수
관련 항목리만 제타 함수
역사
이름의 유래로저 아페리의 이름에서 유래
발견1979년
무리수 증명로저 아페리
중요성수학, 물리학 분야에서 중요하게 다루어짐
리만 제타 함수의 특수한 경우 연구에 기여

2. 아페리의 정리

1978년 로제 아페리는 ζ(3)이 무리수라는 증명을 발표하여 학계에 큰 반향을 일으켰다.[1] 이 결과는 '''아페리의 정리'''로 알려져 있다. 원래 증명은 복잡하고 이해하기 어려웠지만,[1] 이후 더 간단한 증명이 발견되었다.

많은 사람들이 아페리의 증명을 리만 제타 함수의 다른 값과 홀수 인수에 대해 확장하려고 시도했다. 지금까지 특정 숫자에 대한 결과는 없었지만, 홀수 제타 상수 ζ(2n + 1) 중 무한히 많은 수가 무리수라는 것은 알려져 있다. 특히 ζ(5), ζ(7), ζ(9), 그리고 ζ(11) 중 적어도 하나는 무리수임에 틀림없다.

아페리 상수는 아직 초월수임이 증명되지 않았지만, 대수적 주기인 것으로 알려져 있다.

2. 1. 증명의 개략

1978년 6월, 로저 아페리(Roger Apéry)는 마르세유-뤼미니에서 열린 학회에서 리만 제타 함수(3) (Apéry's constant|아페리 상수영어)가 무리수임을 증명하여 발표했다. 이 증명은 초등적이었지만, 아페리는 증명을 설명하는 과정에서 다소 농담 섞인 어조를 사용했고, 이는 일부 수학자들에게 비판을 받았다.[11]

하지만 이후 그의 증명이 정확하다는 것이 밝혀졌다. 2개월 후 헬싱키에서 열린 세계 수학자 대회에서 앙리 코앙(Henri Cohen)은 아페리의 강연을 바탕으로 돈 재기어의 아이디어를 포함한 완전한 증명을 발표했다. 아페리의 증명은 Acta Arithmetica 저널에 게재되었다.[12]

이후 프리츠 베우커스(Frits Beukers)는 더 간결한 증명법을 제시했다.[12] 베우커스는 르장드르 다항식을 이용하여 다음 적분 형태를 사용했다.

:\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,

베우커스는 이 적분을 르장드르 다항식으로 근사하여 증명을 단순화했다.

아페리의 원래 증명은 다음과 같은 핵심적인 등식을 포함한다.[11]

:\zeta(3)= \frac{5}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3 }

이 등식은 당시에는 생소했기에, 청중들은 아페리에게 이 등식을 어떻게 발견했는지 질문했다. 아페리는 "우리 집 정원에서 자라났다"고 답했다. 이 일화는 그의 독특한 설명 방식을 보여준다.

아페리의 증명은 먼저 ζ(3)이 유리수라고 가정한 후, 르장드르 다항식과 부분적분을 사용하여 모순을 이끌어내는 방식으로 진행된다. 르장드르 다항식 P_n (x)는 다음과 같이 정의된다.

:n! P_n (x) = \left\{\frac{d}{dx}\right\}^n x^n (1-x)^n

이를 이용하여 다음 등식이 성립함을 보인다.

:\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-\log(xy)}{1- xy}P_{n}(x)P_{n}(y)dxdy=\frac{A_{n}+B_{n}\zeta(3)}{\operatorname{lcm}\left[1,\ldots,n\right]^{3}}

여기서 A_n과 B_n은 정수이다. 부분적분과 아페리 상수가 유리수라는 가정을 통해 다음 부등식을 유도한다.

:0<\frac{1}{b}\leq\left|A_{n}+B_{n}\zeta(3)\right|\leq 4\left(\frac{4}{5}\right)^{n},

n이 커짐에 따라 우변이 0으로 수렴하므로 모순이 발생한다.

3. 급수 표현

아페리 상수는 무한 급수 형태로 표현될 수 있으며, 레온하르트 오일러가 제시한 고전적인 급수 외에도 다양한 형태가 존재한다.

다음은 아페리 상수의 여러 가지 급수 표현들이다.


  • 시몽 플루페의 급수 표현[5]


:\zeta(3)= 14

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)}

  • \frac{11}{2}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

  • \frac{7}{2}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}


  • 라마누잔의 급수 표현[5]


:\zeta(3) = \frac{7}{180} \pi^3 - 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} - 1)}.

  • 기타 급수 표현


:\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}

:\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}

\frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}

:\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\,

\left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \,

{t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\,

\left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}

:\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

:\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24}

\frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

여기서 P(n)은 다음과 같다.

:P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

이러한 급수 표현 중 일부는 아페리 상수의 소수점 아래 수백만 자릿수를 계산하는 데 사용되었다. Broadhurst(1998)는 계산될 수 있는 임의의 이진수를 받아들이는 급수 전개를 얻었다.

3. 1. 오일러의 급수 표현

레온하르트 오일러는 1772년에 다음과 같은 급수 표현을 제시했다.[1]

:\zeta(3) = \frac{\pi^2}{7} \left(1 - 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k + 1)(2k + 2)}\right)

이 급수는 이후 여러 번 재발견되었다.[1]

3. 2. 수렴 가속 급수

레온하르트 오일러는 1772년에 다음 급수를 제시했다.[5]

:\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}

\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

이 급수는 이후 여러 번 재발견되었다.

시몽 플루페는 다음 급수를 포함한 몇 가지 급수를 제시했는데, 이 급수들은 반복될수록 여러 자리의 정확도를 제공하여 주목할 만하다.

:\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

:\zeta(3)= 14

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)}

  • \frac{11}{2}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

  • \frac{7}{2}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}.

이 외에도 많은 급수 전개가 발견되었다.

:\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}

:\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}

\frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}

:\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\,

\left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \,

{t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\,

\left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}

:\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

:\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24}

\frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

여기서 P(n)은 다음과 같다.

:P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

이들 중 몇몇은 아페리 상수의 소수점 아래 수백만 자릿수를 계산하는 데 사용되었다.

1998년, 브로드허스트는 임의의 이진수를 계산할 수 있는 급수 표현을 제시했으며, 이를 통해 상수를 거의 선형 시간 및 로그 공간에 구할 수 있게 되었다.

라마누잔은 다음 급수 표현을 발견했다.[5]

:\zeta(3) = \frac{7}{180} \pi^3 - 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} - 1)}.

3. 3. 투에-모스 수열 관련 급수

다음 표현은 2022년 토스에 의해 발견되었다.[4]

:

여기서 는 투에-모스 수열의 ''n''번째 항이다. 사실, 이것은 실수부가 1보다 큰 모든 ''s''에 대해 유효한 다음 공식의 특수한 경우이다.

:

4. 적분 표현

아페리 상수는 여러 가지 적분 형태로 표현될 수 있다.[1] 이러한 적분 표현 중 일부는 간단하고, 다른 일부는 더 복잡하다.

4. 1. 간단한 적분 표현

제타 함수의 적분 정의에서 유도되는 다음과 같은 간단한 형태의 적분 표현이 있다.[1]

:\zeta(3) = \frac1{2}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \,dx

이 외에도 다음과 같은 적분 표현들이 있다.[1]

:

\zeta(3) =\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1-xyz}\, dxdydz



:

\zeta(3) =\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty} \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx


4. 2. 복잡한 적분 표현

아페리 상수는 여러 가지 복잡한 적분 형태로 표현될 수 있다. 프리츠 베우커스는 르장드르 다항식을 이용하여 아페리 상수에 대한 삼중 적분 표현을 단순화하였다.[1]

:\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,

반 데르 포르텐은 다음 적분을 언급하며 베우커스의 접근 방식을 설명했다.

:I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n,

여기서 |I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}, P_n(z)는 르장드르 다항식이고, 부분 수열 b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}는 정수 또는 거의 정수이다.

그 외에도 다음과 같은 적분 표현들이 존재한다.[6]

:\zeta(3) = \pi \int_0^\infty \frac{\cos(2\arctan x)}{(x^2 + 1) \left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2} \,dx

:\zeta(3) = -\frac{1}{2} \int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{1 - xy} \,dx\,dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1 - xy)}{xy} \,dx\,dy.

:

\begin{align}

\zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7} \int_0^1 \frac{x(x^4 - 4x^2 + 1) \log\log\frac{1}{x}}{(1 + x^2)^4} \,dx \\

&= \frac{8\pi^2}{7} \int_1^\infty \frac{x(x^4 - 4x^2 + 1) \log\log{x}}{(1 + x^2)^4} \,dx.

\end{align}



감마 함수의 도함수와 관련된 표현은 다음과 같다.

:\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}(\Gamma'''(1) + \gamma^3+ \tfrac{1}{2}\pi^2\gamma) = -\tfrac{1}{2} \psi^{(2)}(1)

이 표현은 감마 함수와 폴리감마 함수에 대한 적분 공식을 통해 다양한 적분 표현을 유도하는 데 사용될 수 있다.

5. 연분수 표현

아페리 상수는 다음의 연분수와 관련이 있다.[7]

:\frac{6}{\zeta(3)}=5-\cfrac{1}{117-\cfrac{64}{535-\cfrac{729}{1436-\cfrac{4096}{3105-\cfrac{15625}{\dots}}}}}

여기서 a_n=34n^3+51n^2+27n+5이고, b_n=-n^6이다.

이것의 단순 연분수는 다음과 같다.[8]

:\zeta(3)=1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\dots}}}}}}

6. 알려진 자릿수

아페리 상수의 소수점 아래 자릿수는 컴퓨터 성능 향상과 알고리즘 개선에 힘입어 꾸준히 증가해 왔다. 1735년 레온하르트 오일러가 소수점 아래 16자리까지 계산한 이래, 꾸준히 기록이 경신되어 왔다.

아페리 상수 \zeta(3)의 알려진 십진 자릿수
날짜자릿수발견자
1735년16레온하르트 오일러
알려져 있지 않음16아드리앵 마리 르장드르
1887년32토마스 요아너스 스틸티어스
1996년520,000그레그 J. 피 & 시몽 플루페
1997년1,000,000Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997년 5월10,536,006Patrick Demichel
1998년 2월14,000,074Sebastian Wedeniwski
1998년 3월32,000,213Sebastian Wedeniwski
1998년 7월64,000,091Sebastian Wedeniwski
1998년 12월128,000,026Sebastian Wedeniwski
2001년 9월200,001,000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002년 2월600,001,000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003년 2월1,000,000,000Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006년 4월10,000,000,000Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009년 1월 21일15,510,000,000Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009년 2월 15일31,026,000,000Alexander J. Yee & Raymond Chan
2010년 9월 17일100,000,001,000Alexander J. Yee[13]
2013년 9월 23일200,000,001,000Robert J. Setti[13]
2015년 8월 7일250,000,000,000Ron Watkins[13]
2015년 12월 21일400,000,000,000Dipanjan Nag[14]
2017년 8월 13일500,000,000,000Ron Watkins[15]
2019년 5월 26일1,000,000,000,000Ian Cutress[16]
2020년 7월 26일1,200,000,000,100김승민[17][18]


6. 1. 대한민국에서의 기록 경신

2020년 7월 26일, 대한민국의 김승민이 아페리 상수를 소수점 이하 1조 2000억 자리까지 계산하여 세계 기록을 경신했다.[17][18] 이전 기록은 2019년 이안 커트리스(Ian Cutress)가 계산한 1조 자리였다.[16]

7. 응용

아페리 상수는 전자의 자기 회전비의 2차 및 3차 항에서 양자 전기역학을 사용하여 여러 물리적 문제에서 자연스럽게 발생한다. 또한 무작위 최소 신장 트리 분석, 감마 함수와 관련하여 몫으로 된 지수 함수를 포함하는 특정 적분을 풀 때도 나타난다. 드바이 모형의 2차원 경우와 슈테판-볼츠만 법칙을 평가할 때와 같이 물리학에서도 종종 나타난다.

7. 1. 역수

Reciprocal|역수영어(0.8319073725807...)는 임의로 선택된 세 개의 양의 정수가 서로 소수일 확률이다. 즉, N이 무한대로 접근할 때, N보다 작은 세 개의 양의 정수를 균일하게 무작위로 선택했을 때, 공통 소인수를 공유하지 않을 확률이 이 값에 접근한다.[1] 같은 의미로, 임의로 선택된 양의 정수가 1보다 큰 정수의 세제곱으로 균등하게 나누어 떨어지지 않을 확률이다.[1]

참조

[1] 문헌
[2] 문헌
[3] 문헌
[4] 간행물 Linear Combinations of Dirichlet Series Associated with the Thue-Morse Sequence http://math.colgate.[...]
[5] 문헌
[6] 간행물 The logarithmic derivative of the Gamma function https://scipp.ucsc.e[...] University of California, Santa Cruz 2010
[7] 웹사이트 Apéry's Constant https://mathworld.wo[...] 2024-09-21
[8] 웹사이트 Apéry's Constant Continued Fraction https://mathworld.wo[...] 2024-09-21
[9] 간행물 Records set by y-cruncher http://www.numberwor[...] 2024-04-01
[10] 간행물 Apéry's constant world record by Seungmin Kim https://ehfd.github.[...] 2020-07-28
[11] 문서 Proving A Proof Is A Proof « Gödel’s Lost Letter and P=NP http://rjlipton.word[...]
[12] 논문 A Note on the Irrationality of \zeta(2) and \zeta(3).
[13] 문헌
[14] 문헌
[15] 웹인용 Records set by y-cruncher http://www.numberwor[...] 2019-06-08
[16] 웹인용 Records set by y-cruncher http://www.numberwor[...] 2019-06-08
[17] 웹인용 Records set by y-cruncher http://www.numberwor[...] 2020-08-10
[18] 웹인용 Apéry's constant world record by Seungmin Kim https://ehfd.github.[...] 2020-07-28


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